题目内容
【题目】如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,侧面SAB⊥底面ABCD,并且SA=SB=AB=2,F为SD的中点.
(1)求三棱锥S﹣FAC的体积;
(2)求直线BD与平面FAC所成角的正弦值.
【答案】
(1)解:由题意,三棱锥S﹣FAC的体积=三棱锥S﹣DAC的体积的一半.
取AB的中点O,连接SO,则SO⊥底面ABCD,SO= ,
∵S△DAC= =
,
∴三棱锥S﹣FAC的体积= =
(2)解:连接OD,OC,则OC=OD= ,∴SC=SD=3,
△SAD中,SA=AD=2,F为SD的中点,∴AF= =
.
△SCD中,SC=SD=3,CD=2,∴9+4CF2=2(9+4),∴CF= ,
△FAC中,cos∠AFC= =
,
∴sin∠AFC= ,
∴S△AFC= ×
×
×
=
设D到平面AFC的距离为h,则 ,∴h=
,
∴直线BD与平面FAC所成角的正弦值 ÷
=
【解析】(1)由题意,三棱锥S﹣FAC的体积=三棱锥S﹣DAC的体积的一半,取AB的中点O,连接SA,利用体积公式求三棱锥S﹣FAC的体积;(2)求出D到平面AFC的距离,即可求直线BD与平面FAC所成角的正弦值.
【考点精析】本题主要考查了空间角的异面直线所成的角的相关知识点,需要掌握已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
才能正确解答此题.
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