题目内容
【题目】将长为
、宽为
的矩形划分为
个小正方形.一粒子不重复不遗漏连续地通过每个小正方形的一条对角线.这件事能否办到？若办不到，请说明理由；若能办到，请给出一种行走路线.
【答案】能
【解析】
能办到.
分两种情况说明：
（1）
若
、
中至少有一个是奇数，不妨设为奇数.如图，粒子从
开始行走，至
；
；
；
；
；
.即给出
时粒子的一种行走路线.若
，则粒子可继续从出发，行至
；
；；；
.又给出
时粒子的一种行走路线.假设
时粒子已有，时的一种行走路线，那么，当
时，若
为奇数，粒子在长为，宽为的矩形上的
个小正方形的一种行走路线终止于
处，再沿下述行走路线即可：；
；
；；
；若为偶数，粒子在长为，宽为的矩形上的个小正方形的一种行走路线终止于
，再沿下述行走路线即可：；
；
；；
.至此，已给出时粒子的一种行走路线.
由数学归纳法原理，当
时，均可设计出粒子的一种行走路线.
（2）
若、都是偶数，如图，粒子从
开始行走至
，然后在线
段上方长为、宽为
的矩形的
个小正方形中行走.由（1）可知粒子有一种行走路线，终止于
.此粒子再沿以下路线行走即可：；
；
；
；；
；.
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