Question

15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c．已知sinB=bsinA．
（1）求边a；
（2）若A=$\frac{π}{3}$，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理及已知即可得解．
（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出；

解答 解：（1）∵sinB=bsinA．
∴由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{bsinA}{bsinA}$=1．
（2）∵a=1，A=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴b+c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（π-$\frac{π}{3}$-B）
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$）
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{1}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB）
=$\sqrt{3}$sinB+cosB
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1}{2}$cosB）
=2sin（B+$\frac{π}{6}$）．
∵A=$\frac{π}{3}$，∴B+C=$\frac{2π}{3}$．
∴0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]．
∴b+c∈（1，2]．

点评 本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、同角三角函数基本关系式等可基础知识与基本技能、方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．