Question

14．函数f（x）定义在R上，常数a≠0，下列正确的命题个数是（　　）
①若f（a+x）=f（a-x），则函数y=f（x）的对称轴是直线x=a；
②函数y=f（x+a）和y=f（a-x）的对称轴是x=0；
③若f（a-x）=f（x-a），则函数y=f（x）的对称轴是x=0；
④函数y=f（x-a）和y=f（a-x）的图象关于直线x=a对称．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据函数的对称性，和函数图象的对称变换法则，逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答 解：若f（a+x）=f（b-x），则函数y=f（x）的对称轴是直线x=$\frac{a+b}{2}$，
∵f（a+x）=f（a-x），∴函数y=f（x）的对称轴是直线x=a，故①正确；
∵f（a-x）=f（x-a），则函数y=f（x）的对称轴是x=0，故③正确；
函数f（x）与函数f（2a-x）的图象关于直线x=a的对称，
则与函数y=f（x+a）的图象关于x=0对称的函数解析式为y=f[（-x）+a]=f（a-x），故②正确；
与函数y=f（x-a）的图象关于x=a对称的函数解析式为y=f[（2a-x）-a）]=f（a-x），故④正确；
故正确的命题的个数是4个，
故选：D

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的对称性，及函数图象的对称变换，难度中档．