Question

2．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
（1）曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求实数a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）证明：若a＜5，则对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞-1．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，令斜率为0，解方程可得a；
（2）根据对数函数定义可知定义域为大于0的数，求出f′（x）讨论当a-1=1时导函数大于0，函数单调递增；当a-1＜1时分类讨论函数的增减性；当a-1＞1时讨论函数的增减性；
（3）构造函数g（x）=f（x）+x，求出导函数，根据a的取值范围得到导函数一定大于0，则g（x）为单调递增函数，则利用当x₁＞x₂＞0时有g（x₁）-g（x₂）＞0即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+（a-1）lnx的导数为
f′（x）=x-a+$\frac{a-1}{x}$，
y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为k=f′（2）=2-a+$\frac{a-1}{2}$=0，
解得a=3；
（2）f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=x-a+$\frac{a-1}{x}$，
（i）若a-1=1即a=2，则f′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x}$，
故f（x）在（0，+∞）单调增．
（ii）若a-1＜1，而a＞1，
故1＜a＜2，则当x∈（a-1，1）时，f′（x）＜0；
当x∈（0，a-1）及x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0
故f（x）在（a-1，1）单调减，
在（0，a-1），（1，+∞）单调增．
（iii）若a-1＞1，即a＞2，
同理可得f（x）在（1，a-1）单调减，
在（0，1），（a-1，+∞）单调增．
（3）考虑函数g（x）=f（x）+x=$\frac{1}{2}$x²-ax+（a-1）lnx+x
则f′（x）=x-a+$\frac{a-1}{x}$+1≥2$\sqrt{x•\frac{a-1}{x}}$-a+1=1-（$\sqrt{a-1}$-1）²，
由于1＜a＜5，故g'（x）＞0，
即g（x）在（0，+∞）单调增加，
从而当x₁＞x₂＞0时有g（x₁）-g（x₂）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）+x₁-x₂＞0，故$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞-1成立．

点评 本题考查学生利用导数研究曲线的切线方程和函数单调性的能力，以及不等式证明的能力．