题目内容
【题目】平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
的离心率为
，且点
在椭圆C上.椭圆C的左顶点为A.
（1）求椭圆C的方程
（2）椭圆的右焦点且斜率为
的直线与椭圆交于P，Q两点，求三角形APQ的面积；
（3）过点A作直线与椭圆C交于另一点B.若直线
交
轴于点C，且
，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）根据椭圆的离心率和过点坐标，可得关于
的方程，解方程即可得到椭圆的方程；
（2）设直线PQ的方程为
与椭圆联立得：
，利用弦长公式和点到直线的距离公式，可求得三角形的面积；
（3）由题意知直线
的斜率存在，设的方程为：
，利用
可得关于
的方程，解方程即可得答案；
（1）由题意知：
解得：
，所以，所求椭圆C的方程为.
（2）设直线PQ的方程为与椭圆联立得：
其判别式
所以
，
则
又点A到直线PQ的距离为
所以三角形APQ的面积为
（3）由题意知直线的斜率存在，设为，过点
，则的方程为：，
联立方程组
，消去
整理得：
，
恒成立，令
，
由
，得
，
将
代入中，得到
，得
，
解得：
，
.所以直线的斜率为.
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