题目内容
【题目】如图,在四棱柱中,底面
为菱形,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)若,
是等边三角形,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)根据面面垂直的判定定理可知,只需证明平面
即可.
由为菱形可得
,连接
和
与
的交点
,
由等腰三角形性质可得,即能证得
平面
;
(2)由题意知,平面
,可建立空间直角坐标系
,以
为坐标原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,再分别求出平面
的法向量,平面
的法向量,即可根据向量法求出二面角
的余弦值.
(1)如图,设与
相交于点
,连接
,
又为菱形,故
,
为
的中点.
又,故
.
又平面
,
平面
,且
,
故平面
,又
平面
,
所以平面平面
.
(2)由是等边三角形,可得
,故
平面
,
所以,
,
两两垂直.如图以
为坐标原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系
.
不妨设,则
,
,
则,
,
,
,
,
,
设为平面
的法向量,
则即
可取
,
设为平面
的法向量,
则即
可取
,
所以.
所以二面角的余弦值为0.
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