Question

6．（1）函数f（x）=（1+$\sqrt{3}$tanx）cosx的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），由三角函数的周期性及其求法即可得解．
（2）由2kπ$-\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调增区间．
（3）由正弦函数的图象和性质可得sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，从而可求f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=（1+$\sqrt{3}$tanx）cosx
=cosx+$\sqrt{3}$sinx
=2sin（x+$\frac{π}{6}$），
∴最小正周期T=$\frac{2π}{1}$=2π．
（2）由2kπ$-\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调增区间为：[2k$π-\frac{2π}{3}$，2k$π+\frac{π}{3}$]（k∈Z）．
（3）∵sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-2，2]，即f（x）的最大值为2，最小值为-2．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．