Question

16．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求
（1）（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）的最小值；
（2）$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）代入，利用基本不等式，求（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）的最小值；
（2）由柯西不等式得（$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$）²≤（1²+1²+1²）（4a+1+4b+1+4c+1）=3[4（a+b+c）+3]=21，即可得出结论．

解答 解：（1）∵a+b+c=1，
∴（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）=$\frac{b+c}{a}$•$\frac{a+c}{b}$•$\frac{a+b}{c}$≥$\frac{2\sqrt{bc}}{a}$•$\frac{2\sqrt{ac}}{b}$•$\frac{2\sqrt{ab}}{c}$=8，
当且仅当a=b=3=$\frac{1}{3}$时，（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）的最小值为8；
（2）由柯西不等式得（$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$）²≤（1²+1²+1²）（4a+1+4b+1+4c+1）
=3[4（a+b+c）+3]=21
当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时等号成立
故$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$的最大值为$\sqrt{21}$．

点评 利用柯西不等式时，关键是如何凑成能利用一般形式的柯西不等式的形式，属于中档题．