Question

18．给定两个长度为1的平面向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$，它们的夹角为120°．点C在以OA，OB为半径的圆弧上，∠AOC=30°如图所示，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，则x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 建立坐标系，求出A，B，C的坐标，利用向量法结合向量的基本定理建立方程组关系进行求解即可．

解答 解：建立平面坐标系如图：则A（1，0），C（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
则$\overrightarrow{OC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{OA}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
∴（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）=x（1，0）+y（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
即$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{2}y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题主要考查向量的基本定理的应用，建立坐标系，利用向量的坐标公式是解决本题的关键．