Question

17．定义复数的一种运算z₁*z₂=$\frac{|{z}_{1}|+|{z}_{2}|}{2}$ （等式右边为普通运算），若复数z=a+bi，$\overline{z}$为z的共轭复数，且正实数a，b满足a+b=3，则z*$\overline{z}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由新定义和复数的模长公式可得z*$\overline{z}$=$\frac{|a+bi|+|a-bi|}{2}$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-6a+9}$，由二次函数的最值可得．

解答 解：由题意可得z*$\overline{z}$=$\frac{|a+bi|+|a-bi|}{2}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+\sqrt{{a}^{2}+（-b）^{2}}}{2}$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∵正实数a，b满足a+b=3，∴b=3-a，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（3-a）^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-6a+9}$，
由二次函数可知当a=$-\frac{-6}{2×2}$=$\frac{3}{2}$时，上式取最小值$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
故选：B

点评 本题考查复数的运算，涉及新定义和二次函数求最值，属中档题．