题目内容

已知两定点A(2,5),B(-2,1),M和N是过原点的直线l上的两个动点,且|MN|=2
2
,lAB,如果直线AM和BN的交点C在y轴上;
(Ⅰ)求M,N与C点的坐标;
(Ⅱ)求C点到直线l的距离.
(Ⅰ) 直线l的斜率即AB的斜率,为
5-1
2+2
=1,故过原点的直线l 的方程为 y=x.
设M(a,a),则N(a+2,a+2),设C(0,b),由A、C、M三点共线可得
5-b
2-0
=
5-a
2-a
①.
由B、C、N 三点共线可得
1-b
-2-0
=
1-(a+2)
-2-(a+2)
②.
由①②解得 a=-1,b=1,∴M(-1,-1),N(1,1),C (0,1).
(Ⅱ)由两点式求得AB的方程为
y-1
5-1
=
x+2
2+2
,即 x-y+3=0,故C点到直线l的距离为
|0-1+3|
2
=
2
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