Question

【题目】已知函数f(x)=|x﹣1|+|2x﹣6|(x∈R)，记f(x)的最小值为c.

（1）求c的值;

（2）若实数ab满足a>0,b>0，a+b=c，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）1.

【解析】

（1）根据绝对值的几何意义，将问题理解为数轴上点到1，3，3距离的最小值即可求得；

（2）根据（1）中所求结果，配凑出使用均值不等式的条件，利用均值不等式即可求得.

（1）f(x)=|x﹣1|+|2x﹣6=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣3|，

f(x)表示数轴上的点到数轴上1,3,3对应点的距离之和.

∴f(x)min=f（3）=2，

∴c=2.

（2）∵a+b=2，

∴[(a+1)+(b+1)]()

[a2+b2](a2+b2+2ab)(a+b)2=1；

当且仅当，即时，有最小值1.