题目内容
【题目】已知平行四边形中,
,
,
,
是线段
的中点,沿
将
翻折到
,使得平面
平面
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)首先证出,再利用面面垂直的性质定理即可证出.
(2)以为原点,
,
,
所在直线分别为
,
,
轴建立如图所示的空间直角坐标系
,求出平面
的一个法向量,平面
的一个法向量,利用空间向量的数量积即可求解.
(1)由题意可知,
,
,
即,故
.
因为平面平面
,平面
平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)由(1)知平面
,且
,
以为原点,
,
,
所在直线分别为
,
,
轴
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
,
.
由于是线段
的中点,所以
在平面
中,
,
.
设平面的法向量为
,则
,即
,
令,得
,
所以平面的一个法向量为
,
而平面的一个法向量为
.
故,易知二面角
的平面角为锐角,
故二面角的余弦值为
.
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