题目内容
【题目】设函数,
,其中
恒不为0.
(1)设,求函数
在x=1处的切线方程;
(2)若是函数
与
的公共极值点,求证:
存在且唯一;
(3)设,是否存在实数a,b,使得
在(0,
)上恒成立?若存在,请求出实数a,b满足的条件;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)存在;a=0,b≠0符合题意
【解析】
(1)根据,得到
,求导
,得到
,
,写出切线方程.
(2)根据是函数
与
的公共极值点,则有
,解得
,令
,用导数法研究只有一个零点即可.
(3)根据在
上无零点,分当a=0,b≠0,
,
三种情况讨论求解.
(1)因为,
所以,
,
,
,
故在x=1处的切线方程为:;
(2),
,
由题意知,解得
,
令,x>0,
,
时,
;
时,
,
故在
递减,
递增,
又时,
,故
在(0,1)上无零点,
,
,故
,
又在
递增,因此,
在(1,e)上存在唯一零点,
∴存在且唯一;
(3)由题意知:在
上无零点
当a=0时,则b≠0,,符合题意;
又,则b(a+b)>0,故b≠0.
当a≠0时,要使在
上无零点,显然ab>0
在
上恒成立,
即在
上恒成立,
令,
,
,
时,
时,
,
时,
,
,故
,
因此,时,
,与题意不符,舍去;
时,
时,
,
时,
,
,故
,
因此,时,
,与题意不符,舍去;
综上,存在a=0,b≠0符合题意.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本(单位:元)与印刷册数
(单位:千册)之间的关系,在印制某种书籍时进行了统计,相关数据见下表.
印刷册数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
单册成本 | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 |
根据以上数据,技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型,得到了两个回归方程,方程甲:,方程乙:
.
(1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务.
(i)完成下表(计算结果精确到0.1);
印刷册数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
单册成本 | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 | |
模型甲 | 估计值 | 2.4 | 2.1 | 1.6 | ||
残差 | 0 | -0.1 | 0.1 | |||
模型乙 | 估计值 | 2.3 | 2 | 1.9 | ||
残差 | 0.1 | 0 | 0 |
(ii)分别计算模型甲与模型乙的残差平方和和
,并通过比较
,
的大小,判断哪个模型拟合效果更好.
(2)该书上市之后,受到广大读者热烈欢迎,不久便全部售罄,于是印刷厂决定进行二次印刷.根据市场调查,新需求量为10千册,若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商,试估计印刷厂二次印刷获得的利润.(按(1)中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本)