题目内容
【题目】已知函数,
为自然对数的底数,
.
(1)试讨论函数的单调性;
(2)当时,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) 当时,
在
上单调递增;当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减.
(2) .
【解析】试题分析:(1)对函数求导,关注定义域,对参数 a进行讨论,得出函数的单调性;(2)解决恒成立的最基本方法就是分离参数,化为对
时恒成立.设右边为函数g(x),通过两次求导研究函数g(x)的单调性和最大值,最后利用极值原理得出a的范围.
试题解析:
(1)的定义域为
,
.
若时,则
,∴
在
上单调递增;
若时,则由
,∴
.
当时,
,∴
在
上单调递增;
当时,
,∴
在
上单调递减.
综上所述,当时,
在
上单调递增;
当时,
在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)由题意得: 对
时恒成立,
∴对
时恒成立.
令,(
),
∴.
令,
∴对
时恒成立,
∴在
上单调递减,
∵,
∴当时,
,∴
,
在
上单调递增;
当时,
,∴
,
在
上单调递减.
∴在
处取得最大值
,
∴的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某学校举行了一次安全教育知识竞赛,竞赛的原始成绩采用百分制.已知高三学生的原始成绩均分布在内,发布成绩使用等级制,各等级划分标准见表.
原始成绩 | 85分及以上 | 70分到84分 | 60分到69分 | 60分以下 |
等级 | 优秀 | 良好 | 及格 | 不及格 |
为了解该校高三年级学生安全教育学习情况,从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照
的分组作出频率分布直方图如图所示,其中等级为不及格的有5人,优秀的有3人.
(1)求和频率分布直方图中的
的值;
(2)根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若在该校高三学生中任选3人,求至少有1人成绩是及格以上等级的概率;
(3)在选取的样本中,从原始成绩在80分以上的学生中随机抽取3名学生进行学习经验介绍,记表示抽取的3名学生中优秀等级的学生人数,求随机变量
的分布列及数学期望.