题目内容
【题目】已知椭圆:,,分别是椭圆短轴的上下两个端点,是椭圆的左焦点,P是椭圆上异于点,的点,若的边长为4的等边三角形.
写出椭圆的标准方程;
当直线的一个方向向量是时,求以为直径的圆的标准方程;
设点R满足:,,求证:与的面积之比为定值.
【答案】(1);(2);(3)证明见解析
【解析】
由是边长为4的等边三角形得,进一步求得,则椭圆方程可求;
由直线的一个方向向量是,可得直线所在直线的斜率,得到直线的方程,由椭圆方程联立,求得P点坐标,得到的中点坐标,再求出,可得以为直径的圆的半径,则以为直径的圆的标准方程可求;
方法一、设,求出直线的斜率,进一步得到直线的斜率,得到直线的方程,同理求得直线的方程,联立两直线方程求得R的横坐标,再结合在椭圆上可得与的关系,由求解;
方法二、设直线,的斜率为k,得直线的方程为结合,可得直线的方程为,把与椭圆方程联立可得,再由在椭圆上,得到,从而得到,得结合,可得直线的方程为与线的方程联立求得再由求解.
解:如图,由的边长为4的等边三角形,得,且.
椭圆的标准方程为;
解:直线的一个方向向量是,
直线所在直线的斜率,则直线的方程为,
联立,得,
解得,.
则的中点坐标为,.
则以为直径的圆的半径.
以为直径的圆的标准方程为;
证明:方法一、设,
直线的斜率为,由,得直线的斜率为.
于是直线的方程为:.
同理,的方程为:.
联立两直线方程,消去y,得.
在椭圆上,
,从而.
,
.
方法二、设直线,的斜率为k,,则直线的方程为.
由,直线的方程为,
将代入,得,
是椭圆上异于点,的点,,从而.
在椭圆上,
,从而.
,得.
,直线的方程为.
联立,解得,即.
.
练习册系列答案
相关题目