题目内容
【题目】已知椭圆:
,
,
分别是椭圆短轴的上下两个端点,
是椭圆的左焦点,P是椭圆上异于点
,
的点,若
的边长为4的等边三角形.
写出椭圆的标准方程;
当直线
的一个方向向量是
时,求以
为直径的圆的标准方程;
设点R满足:
,
,求证:
与
的面积之比为定值.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析
【解析】
由
是边长为4的等边三角形得
,进一步求得
,则椭圆方程可求;
由直线
的一个方向向量是
,可得直线
所在直线的斜率
,得到直线
的方程,由椭圆方程联立,求得P点坐标,得到
的中点坐标,再求出
,可得以
为直径的圆的半径,则以
为直径的圆的标准方程可求;
方法一、设
,
求出直线
的斜率,进一步得到直线
的斜率,得到直线
的方程,同理求得直线
的方程,联立两直线方程求得R的横坐标,再结合
在椭圆
上可得
与
的关系,由
求解;
方法二、设直线,
的斜率为k,得直线
的方程为
结合
,可得直线
的方程为
,把
与椭圆方程联立可得
,再由
在椭圆
上,得到
,从而得到
,得
结合
,可得直线
的方程为
与线
的方程联立求得
再由
求解.
解:如图,由
的边长为4的等边三角形,得
,且
.
椭圆的标准方程为
;
解:
直线
的一个方向向量是
,
直线
所在直线的斜率
,则直线
的方程为
,
联立,得
,
解得,
.
则的中点坐标为
,
.
则以为直径的圆的半径
.
以
为直径的圆的标准方程为
;
证明:方法一、设
,
直线的斜率为
,由
,得直线
的斜率为
.
于是直线的方程为:
.
同理,的方程为:
.
联立两直线方程,消去y,得.
在椭圆
上,
,从而
.
,
.
方法二、设直线,
的斜率为k,
,则直线
的方程为
.
由,直线
的方程为
,
将代入
,得
,
是椭圆上异于点
,
的点,
,从而
.
在椭圆
上,
,从而
.
,得
.
,
直线
的方程为
.
联立,解得
,即
.
.
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