题目内容

【题目】图一是美丽的勾股树,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1勾股树,重复图二的作法,得到图三为第2勾股树,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第勾股树所有正方形的个数与面积的和分别为(

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

第1代“勾股树”中,小正方形的个数3=21+1﹣1=3,所有正方形的面积之和为2=(1+1)×1,第2代“勾股树”中,小正方形的个数7=22+1﹣1,所有的正方形的面积之和为3=(2+1)×1,以此类推,第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1﹣1,第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为:(n+1)×1=n+1.

解:第1代“勾股树”中,小正方形的个数3=21+1﹣1=3,

如图(2),设直角三角形的三条边长分别为abc

根据勾股定理得a2+b2c2

即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1,

所有正方形的面积之和为2=(1+1)×1,

第2代“勾股树”中,小正方形的个数7=22+1﹣1,

如图(3),正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积,

正方形M的面积+正方形N的面积=正方形B的面积,

正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1,

所有的正方形的面积之和为3=(2+1)×1,

以此类推,第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1﹣1,

n代“勾股树”所有正方形的面积的和为:(n+1)×1=n+1.

故选:A

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