题目内容

已知椭圆C1的方程为
x2
4
+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(Ⅰ)求双曲线C2的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+
2
与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足
OA
OB
<6(其中O为原点),求k的取值范围.
(Ⅰ)设双曲线C2的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1,则a2=4-1=3,再由a2+b2=c2得b2=1.
故C2的方程为
x2
3
-y2=1.
(II)将y=kx+
2
代入
x2
4
+y2=1得(1+4k2)x2+8
2
kx+4=0
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得△1=(8
2
)
2
k2
-16(1+4k2)=16(4k2-1)>0,
即k2
1
4

将y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1得(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0.
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B得
1-3k2≠0
2=(-6
2
k)
2
+36(1-3k2)=36(1-k2)>0.

即k2
1
3
且k2<1.②
设A(xA,yA)B(xB,yB),则xA+xB=
6
2
k
1-3k2
,xA•xB=
-9
1-3k2

OA
OB
<6得xAxB+yAyB<6,
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+
2
)(kxB+
2

=(k2+1)xAxB+
2
(xA+xB)+2
=(k2+1)•
-9
1-3k2
+
2
k•
6
2
k
1-3k2
+2
=
3k2+7
3k2-1

于是
3k2+7
3k2-1
<6,即
15k2-13
3k2-1
>0.
解此不等式得k2
13
15
或k2
1
3
.③
由①、②、③得
1
4
<k2<或
13
15
<k2<1.
故k的取值范围为(-1,-
13
15
)∪(-
3
3
,-
1
2
)∪(
1
2
3
3
)∪(
13
15
,1).
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