题目内容
已知椭圆C1的方程为
+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(Ⅰ)求双曲线C2的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+
与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足
•
<6(其中O为原点),求k的取值范围.
x2 |
4 |
(Ⅰ)求双曲线C2的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+
2 |
OA |
OB |
(Ⅰ)设双曲线C2的方程为
-
=1,则a2=4-1=3,再由a2+b2=c2得b2=1.
故C2的方程为
-y2=1.
(II)将y=kx+
代入
+y2=1得(1+4k2)x2+8
kx+4=0
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得△1=(8
)2k2-16(1+4k2)=16(4k2-1)>0,
即k2>
①
将y=kx+
代入
-y2=1得(1-3k2)x2-6
kx-9=0.
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B得
即k2≠
且k2<1.②
设A(xA,yA)B(xB,yB),则xA+xB=
,xA•xB=
.
由
•
<6得xAxB+yAyB<6,
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+
)(kxB+
)
=(k2+1)xAxB+
(xA+xB)+2
=(k2+1)•
+
k•
+2
=
.
于是
<6,即
>0.
解此不等式得k2>
或k2<
.③
由①、②、③得
<k2<或
<k2<1.
故k的取值范围为(-1,-
)∪(-
,-
)∪(
,
)∪(
,1).
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
故C2的方程为
x2 |
3 |
(II)将y=kx+
2 |
x2 |
4 |
2 |
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得△1=(8
2 |
即k2>
1 |
4 |
将y=kx+
2 |
x2 |
3 |
2 |
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B得
|
即k2≠
1 |
3 |
设A(xA,yA)B(xB,yB),则xA+xB=
6
| ||
1-3k2 |
-9 |
1-3k2 |
由
OA |
OB |
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+
2 |
2 |
=(k2+1)xAxB+
2 |
=(k2+1)•
-9 |
1-3k2 |
2 |
6
| ||
1-3k2 |
=
3k2+7 |
3k2-1 |
于是
3k2+7 |
3k2-1 |
15k2-13 |
3k2-1 |
解此不等式得k2>
13 |
15 |
1 |
3 |
由①、②、③得
1 |
4 |
13 |
15 |
故k的取值范围为(-1,-
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3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
| ||
3 |
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