题目内容

设F1、F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点.
(Ⅰ)若椭圆上的点A(1,
3
2
)到点F1、F2的距离之和等于4,求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点P是(Ⅰ)中所得椭圆C上的动点,求线段F1P的中点M的轨迹方程.
(Ⅰ)由椭圆上的点A到点F1、F2的距离之和是4,可得2a=4,即a=2.(1分)
又点A(1,
3
2
)在椭圆上,因此
1
22
+
(
3
2
)
2
b2
=1,解得b2=3,于是c2=1…(2分)
所以椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1…(3分)
(Ⅱ)设椭圆C上的动点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x,y).
由(Ⅰ)知,点F1的坐标为(-1,0),则x=
-1+x1
2
,y=
y1
2
,即x1=2x+1y1=2y…(5分)
因此
(2x+1)2
4
+
(2y)2
3
=1,即(x+
1
2
)2+
4y2
3
=1
为所求的轨迹方程…(6分)
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