题目内容

已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点M（4，-4）．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求直线l的方程．
（1）由已知可令所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），而点M（4，-4）在抛物线上，则16=8p，所以p=2，故所求抛物线方程为y2=4x；
（2）由（1）知F（1，0）．
若直线l垂直于x轴，则A（1，2），B（1，-2），此时|AB|=4，与题设不符；
若直线l与x轴不垂直，可令直线l的方程为y=k（x-1），再设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
y=k(x-1)
y2=4x
，消去y可得k2x2-2（k2+2）+k2=0，于是x1+x2=
2(k2+2)
k2
，x1x2=1，
则|AB|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2
=
4(1+k2)
k2
=8，解得k=±1，
从而，所求直线l的方程为y=±（x-1）．
练习册系列答案
相关题目
如图，椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b，b＞0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆Cl的长轴三等分，且圆C2的面积为π．椭圆Cl的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B，直线EA、EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P、M．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）（i）设PM的斜率为t，直线l斜率为K1，求
K1
t
的值；
（ii）求△EPM面积最大时直线l的方程．
已知椭圆C1的方程为
x2
4
+y2=1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线C2的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+
2
与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足
OA
•
OB
＜6（其中O为原点），求k的取值范围．
线段PQ是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1过M（1，0）的一动弦，且直线PQ与直线x=4交于点S，则
|SM|
|SP|
+
|SM|
|SQ|
=______．
直线L：y=kx+1与椭圆C：ax2+y2=2（a＞1）交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）．
（1）若k=1，且四边形OAPB为矩形，求a的值；
（2）若a=2，当k变化时（k∈R），求点P的轨迹方程．
直线与双曲线x2-4y2=4交于A、B两点，若线段AB的中点坐标为（8，1），则直线的方程为______．
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，直线l：y=
3
(x-4)关于直线l1：y=
b
a
x对称的直线l′与x轴平行．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若点M（4，0）到双曲线上的点P的最小距离等于1，求双曲线的方程．
如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
【理科】已知双曲线的中心在坐标原点O，一条准线方程为x=
3
2
，且与椭圆
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦点．
（1）求此双曲线的方程；
（2）设直线：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

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