题目内容

已知F1，F2分别为椭圆
x2
a2
+
y2
a2-1
=1（a＞1）的左、右两个焦点，一条直线l经过点F1与椭圆交于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
（1）求实数a的值；
（2）若l的倾斜角为
π
4
，求|AB|的值．
由椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，…（2分）
又|AF1|+|BF1|=|AB|，
所以△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=4a．…（4分）
又因为△ABF2的周长为8，所以4a=8，则a=2．…（5分）
（2）由（1）得，椭圆
x2
4
+
y2
3
=1，F1（-1，0），…（7分）
因为直线l的倾斜角为
π
4
，所以直线l斜率为1，
故直线l的方程为y=x+1．…（8分）
由
y=x+1
x2
4
+
y2
3
=1
消去y，得7x2+8x-8=0，…（9分）
（法一：|AB|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]
=
24
7
）
法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），解得，x1=
-4+6
2
7
，x2=
-4-6
2
7
…（10分）
所以y1=
3+6
2
7
，y2=
3-6
2
7

则|AB|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
(
12
2
7
)2+(
12
2
7
)2
=
24
7
…（12分）
练习册系列答案
相关题目
已知直线y=2x+b与曲线xy=2相交于A，B两点，若|AB|=5，则实数b的值是（　　）
A．2B．-2C．±2D．4
已知椭圆C的中心在坐标原点O，左顶点A（-2，0），离心率e=
1
2
，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两点（不同于点A）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当△APQ的面积S=
18
2
7
时，求直线PQ的方程；
（Ⅲ）求
OP
•
FP
的范围．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
3
2
，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则
cos(α-β)
cos(α+β)
=______．
在平面直角坐标系中，已知
a
=(2mx，y-1)，
b
=(2x，y+1)，其中m∈R，
a
⊥
b
，动点M（x，y）的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程，并说明该轨迹方程所表示曲线的形状；
（2）当m=
1
8
时，设过定点P（0，2）的直线l与轨迹C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
如图，已知抛物线C：y2=4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点
（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y=1上，求直线l的方程；
（Ⅱ）若线段|AB|=20，求直线l的方程．
求经过点P（-1，-6）与抛物线C：x2=4y只有一个公共点的直线l方程．
如图，椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b，b＞0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆Cl的长轴三等分，且圆C2的面积为π．椭圆Cl的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B，直线EA、EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P、M．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）（i）设PM的斜率为t，直线l斜率为K1，求
K1
t
的值；
（ii）求△EPM面积最大时直线l的方程．
已知椭圆C1的方程为
x2
4
+y2=1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线C2的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+
2
与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足
OA
•
OB
＜6（其中O为原点），求k的取值范围．

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