Question

设数列的前n项和为，且（）.
（1）求，，，的值；
（2）猜想的表达式，并加以证明。

Answer 1

（1）,,,; （2）猜想（）,证明见解析.

试题分析：（1）由条件，当时，有，解得，同理当分别取2，3，4可得，，的值；（2）由（1）中前四项的值可猜想,由得，两式相减并化为，则是等比数列，求出通项公式，可得的通项公式.
解：（1）因为，，            （1分）
所以，当时，有，解得；                （2分）
当时，有，解得；             （3分）
当时，有，解得；         （4分）
当时，有，解得．（5分）
（2）猜想（）                                   （9分）
方法一：
由（），得（），          （10分）
两式相减，得，即（）．（11分）
两边减2，得，                                   （12分）
所以{}是以-1为首项，为公比的等比数列，
故，                                          （13分）
即（）． （14分）
方法二：
①当n=1时，由（1）可知猜想显然成立；                           （10分）
②假设当n=k时，猜想成立，即，                      （11分）
由（），得，
两式相减，得，                                 （12分）
所以，
即当n=k+1时，猜想也成立．  （13分）
根据①和②，知对任意，猜想成立．（14分）