Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ ax2﹣2x（a＜0）
（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（2）若a=﹣ 且关于x的方程f（x）=﹣ x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=﹣ （x＞0）

依题意f'（x）≥0 在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．

则a≤ =在x＞0恒成立，

即a≤[ ﹣1]min x＞0

当x=1时， ﹣1取最小值﹣1

∴a的取值范围是（﹣∝，﹣1]

（2）解：a=﹣ ，f（x）=﹣ x+b∴

设g（x）= 则g'（x）= 列表：

X	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，4）
g′（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣ ，

又g（4）=2ln2﹣b﹣2

∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．

则 ，得ln2﹣2＜b≤﹣

【解析】（1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图像与x轴的交点的问题．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)．