题目内容

【题目】已知过点P(m,n)的直线l与直线l0:x+2y+4=0垂直. (Ⅰ) 若 ,且点P在函数 的图象上,求直线l的一般式方程;
(Ⅱ) 若点P(m,n)在直线l0上,判断直线mx+(n﹣1)y+n+5=0是否经过定点?若是,求出该定点的坐标;否则,请说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)点P在函数 的图象上, ,即点

由x+2y+4=0,得 ,即直线l0的斜率为

又直线l与直线l0垂直,则直线l的斜率k满足: ,即k=2,

所以直线l的方程为 ,一般式方程为:2x﹣y+1=0.

(Ⅱ)点P(m,n)在直线l0上,所以m+2n+4=0,即m=﹣2n﹣4,

代入mx+(n﹣1)y+n+5=0中,整理得n(﹣2x+y+1)﹣(4x+y﹣5)=0,

,解得

故直线mx+(n﹣1)y+n+5=0必经过定点,其坐标为(1,1)


【解析】(Ⅰ)点P在函数 的图象上,可得点 ,利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出.(Ⅱ)点P(m,n)在直线l0上,可得m+2n+4=0,即m=﹣2n﹣4,代入mx+(n﹣1)y+n+5=0中,整理得n(﹣2x+y+1)﹣(4x+y﹣5)=0,由 ,解得即可得出.

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