题目内容

已知二次函数.
(1)若对任意,且,都有,求证:关于的方程
有两个不相等的实数根且必有一个根属于
(2)若关于的方程上的根为,且,设函数的图象的对称轴方程为,求证:.

(1)详见解析;(2)详见解析.

解析试题分析:(1)先构造新函数,利用证明方程
有两个不相等的实数根,然后利用存在定理证明方程必有一个根属于,即利用来证明;(2)将的代入方程得到的表达式,结合证明.
试题解析:(1)构造函数


由于函数为二次函数,所以
对于二次函数而言,



,则有且有,从而有,这与矛盾,
,故方程有两个不相等,
由于

所以
由零点存在定理知,方程必有一个根属于
(2)由题意知,化简得
,则有
由于,则,故,即.
考点:1.二次方程根的个数的判断;2.零点存在定理;3.二次函数图象的对称轴

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