题目内容
(本小题满分12分)
设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,对于任意的
当
时,都
有
(1)若函数g(x)=f(x-c)和h(x)=f(x-c2)的定义域的交集是空集,求c的取值范围;
(2)判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性,并用定义证明。
设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,对于任意的



有

(1)若函数g(x)=f(x-c)和h(x)=f(x-c2)的定义域的交集是空集,求c的取值范围;
(2)判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性,并用定义证明。
(1){x|c<-1或c>2}
(2)增函数
(2)增函数
(1)由-1≤x-c≤1得g(x)定义域:c-1≤x≤1+c
由-1≤x-c2≤1得f(x)定义域:c2-1≤x≤1+c2 -------------------------4分
由
得:c+1<c2-1 或c2+1<c-1解得:C<-1或C>2---5分
综上:C的取值范围为{x|c<-1或c>2}------------------------------------6分
(2)任取x1、x2Î[-1,1],且 x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=
·(x1-x2) --------------------------8分
由已知有:
>0,而x1-x2<0 ∴
·(x1-x2) <0
∴f(x1) <f(x2) ----------------------------------------------------10分
∴f(x)在[-1,1]上为增函数, ------------------------------------12分
由-1≤x-c2≤1得f(x)定义域:c2-1≤x≤1+c2 -------------------------4分
由

综上:C的取值范围为{x|c<-1或c>2}------------------------------------6分
(2)任取x1、x2Î[-1,1],且 x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

由已知有:


∴f(x1) <f(x2) ----------------------------------------------------10分
∴f(x)在[-1,1]上为增函数, ------------------------------------12分

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