题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
(
),圆
(
),若圆
的一条切线
与椭圆
相交于
两点.
(1)当,
时,若点
都在坐标轴的正半轴上,求椭圆
的方程;
(2)若以为直径的圆经过坐标原点
,探究
之间的等量关系,并说明理由.
【答案】(1)椭圆的方程是
;(2)
满足等量关系
.
【解析】试题分析:
(1)首先利用直线到圆心的距离等于半径求得 的值,然后结合几何关系求得
的值即可求得椭圆的标准方程.
(2)将原问题转化为,联立直线与椭圆的标准方程,结合根与系数的关系整理计算即可求得
之间的等量关系.
试题解析:
解:(1)∵直线与
相切,∴
.
由,
,解得
.
∵点都在坐标轴正半轴上,
∴.
∴切线与坐标轴的交点为
,
.
∴,
.
∴椭圆的方程是
.
(2)设,
∵以为直径的圆经过点
,
∴,即
.
∵点在直线
上,
∴.
∴ (*)
由消去
,得
.
即
显然
∴由一元二次方程根与系数的关系,得
代入(*)式,得.
整理,得.
又由(1),有.
消去,得
∴
∴满足等量关系
.
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