题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆(),圆(),若圆的一条切线与椭圆相交于两点.
(1)当, 时,若点都在坐标轴的正半轴上,求椭圆的方程;
(2)若以为直径的圆经过坐标原点,探究之间的等量关系,并说明理由.
【答案】(1)椭圆的方程是;(2)满足等量关系.
【解析】试题分析:
(1)首先利用直线到圆心的距离等于半径求得 的值,然后结合几何关系求得 的值即可求得椭圆的标准方程.
(2)将原问题转化为,联立直线与椭圆的标准方程,结合根与系数的关系整理计算即可求得 之间的等量关系.
试题解析:
解:(1)∵直线与相切,∴.
由, ,解得.
∵点都在坐标轴正半轴上,
∴.
∴切线与坐标轴的交点为, .
∴, .
∴椭圆的方程是.
(2)设,
∵以为直径的圆经过点,
∴,即.
∵点在直线上,
∴.
∴ (*)
由消去,得.
即
显然
∴由一元二次方程根与系数的关系,得
代入(*)式,得.
整理,得.
又由(1),有.
消去,得
∴
∴满足等量关系.
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