题目内容

【题目】已知函数.

(1)过原点作函数图象的切线,求切点的横坐标;

(2)对,不等式恒成立,求实数的取值范围.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).

【解析】试题分析:(1)设切点坐标,利用导数几何意义以及切点在切线上,也在曲线上列方程组,解得切点的横坐标;(2)不等式恒成立问题往往转化为对应函数最值问题: 恒成立等价于的最小值不小于零,根据导函数符号变化规律,分类讨论函数单调性,进而得函数最值,验证是否满足条件,确定实数的取值范围.

试题解析:(Ⅰ)设切点为 ,直线的切线方程为

即直线的切线方程为

又切线过原点,所以

,解得 ,所以切点的横坐标为 .

(Ⅱ)方法一:∵不等式 恒成立,

恒成立.

.

①当时, 上单调递减,

不符合题意.

②当时, .设

上单调递增,即.

(ⅰ)当时,由,得 上单调递增,即 符合题意;

(ii)当时, 使得

上单调递减,在 上单调递增,

,则不合题意.

综上所述, .

(Ⅱ)方法二:∵不等式 恒成立,

恒成立.

时, ;当时,

不恒成立;同理取其他值不恒成立.

时, 恒成立;

时, ,证明恒成立.

.∴ 为减函数.

,∴.

(Ⅱ)方法三:∵不等式恒成立,

∴等价于 恒成立.

,当时, ;∴

函数过点(0,0)和(1,0),函数过点(1.0),恒成立,

一定存在一条过点(1,0)的直线和函数都相切或,一定存在一条过点(1,0)的直线相切和函数相交,但交点横坐标小于1,

当都相切时

不大于等于0.

.

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