题目内容
【题目】已知函数.
(1)过原点作函数图象的切线,求切点的横坐标;
(2)对,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】试题分析:(1)设切点坐标,利用导数几何意义以及切点在切线上,也在曲线上列方程组,解得切点的横坐标;(2)不等式恒成立问题往往转化为对应函数最值问题: 对, 恒成立等价于的最小值不小于零,根据导函数符号变化规律,分类讨论函数单调性,进而得函数最值,验证是否满足条件,确定实数的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)设切点为 ,直线的切线方程为
, ,
即直线的切线方程为
又切线过原点,所以,
由 ,解得 ,所以切点的横坐标为 .
(Ⅱ)方法一:∵不等式对, 恒成立,
∴对, 恒成立.
设, , , .
①当时, , 在, 上单调递减,
即, 不符合题意.
②当时, .设,
在, 上单调递增,即.
(ⅰ)当时,由,得, 在, 上单调递增,即, 符合题意;
(ii)当时, , , 使得,
则在, 上单调递减,在, 上单调递增,
,则不合题意.
综上所述, .
(Ⅱ)方法二:∵不等式对, 恒成立,
∴对, 恒成立.
当时, ;当时, ,
不恒成立;同理取其他值不恒成立.
当时, 恒成立;
当时, ,证明恒成立.
设
.∴在, 为减函数.
,∴.
(Ⅱ)方法三:∵不等式对,恒成立,
∴等价于对, 恒成立.
设,当时, ;∴,
函数过点(0,0)和(1,0),函数过点(1.0),在恒成立,
一定存在一条过点(1,0)的直线和函数、都相切或,一定存在一条过点(1,0)的直线相切和函数相交,但交点横坐标小于1,
当都相切时.
不大于等于0.
∴.
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