Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆（），圆（），若圆的一条切线与椭圆相交于两点.

（1）当， 时，若点都在坐标轴的正半轴上，求椭圆的方程；

（2）若以为直径的圆经过坐标原点，探究是否满足，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）利用点到直线的距离公式可求得，由点都在坐标轴的正半轴上，即可求得和的值，求得椭圆方程；（2）由以为直径的圆经过点，可得，即，由在直线上，可将用表示，然后联立直线与椭圆的方程结合韦达定理得，化简可得结论.

试题解析：（1）∵直线与相切，∴.

由， ，解得.

∵点都在坐标轴正半轴上，

∴.

∴切线与坐标轴的交点为， .

∴， .

∴椭圆的方程是.

（2）的关系满足.

证明如下：设，

∵以为直径的圆经过点，

∴，即.

∵点在直线上，

∴.

∴ （*）

由消去，得.

即

显然

∴由一元二次方程根与系数的关系，得

代入（*）式，得.

整理，得.

又由（1），有.

消去，得

∴

∴满足等量关系.