题目内容

19.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的两个零点分别为x1、x2
(Ⅰ)若x1=1,x2=2,求a-b的值;
(Ⅱ)若x1、x2∈(0,1),求f(0)•f(1)的取值范围.

分析 (Ⅰ)根据韦达定理求出a,b的值,从而求出a-b的值即可;(Ⅱ)先求出f(0)•f(1)=x1•x2(1-x1)(1-x2),再根据均值不等式求出其范围即可.

解答 解:(Ⅰ)由题意得:x1+x2=3=-a,x1 x2=2=b,
解得:a=-3,b=2,a-b=-5;
(Ⅱ)由题意得:f(x)=(x-x1)(x-x2),
∴f(0)•f(1)=x1•x2(1-x1)(1-x2),
∵x1,x2∈(0,1),由均值不等式得:
0<x1(1-x1)≤${(\frac{{x}_{1}+1{-x}_{1}}{2})}^{2}$=$\frac{1}{4}$,
0<x2(1-x2)≤${(\frac{{x}_{2}+1{-x}_{2}}{2})}^{2}$=$\frac{1}{4}$,
∴f(0)•f(1)∈(0,$\frac{1}{16}$],
当x1=x2=$\frac{1}{2}$时,f(0)f(1)取得最大值$\frac{1}{16}$.

点评 本题考查了二次函数的性质,考查均值不等式,是一道基础题.

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