Question

18．直线l的方程为y=x+2，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x²-4y²=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 设出椭圆方程，P的坐标，使椭圆与直线相切．由此入手能够求出具有最短长轴的椭圆方程

解答 解：设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）
c=1，a²-b²=c²=1
设P的坐标为：﹙m，m+2﹚P在椭圆上
∴$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（m+2）^{2}}{{a}^{2}-1}$=1，
∴﹙a²-1﹚m²+a²﹙m²+4m+4﹚=a²﹙a²-1﹚=﹙a²﹚²-a²
﹙2a²-1﹚m²+4a²m+5a²-﹙a²﹚²=0
△=﹙4a²﹚²-﹙8a²-4﹚﹙5a²-a⁴﹚≥0
∴2a⁴-11a²+5≥0
∴﹙2a²-1﹚﹙a²-5﹚≥0
∴a²≤$\frac{1}{2}$或a²≥5
∵c²=1，a²＞c²
∴a²≥5，长轴最短，即a²=5
b²=a²-1=4
所以：所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．