题目内容
2.已知A(-2,0),B(2,0)为椭圆C的左、右顶点,F为其右焦点,P是椭圆C上异于A,B的动点,且△APB面积的最大值为2$\sqrt{3}$.(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知菱形EFGH的顶点E、G在椭圆C1上,顶点F、H在直线7x-7y+1=0上,求直线EG的方程.
分析 (Ⅰ)由题意知椭圆的短轴和焦点可代入椭圆方程求出椭圆方程
(Ⅱ)顶点F、H在直线7x-7y+1=0上,EFGH为菱形,EG垂直FH,设直线EG的方程为y=-x+m,然后直线与椭圆联立方程,利用韦达定理列式求解即可.
解答 解:(Ⅰ)由题意可设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;(a>b>0)$,F(c,0).由题意知
解得$b=\sqrt{3}$,c=1. …(3分)
故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$. …(4分)
(Ⅱ)顶点F、H在直线7x-7y+1=0上,EFGH为菱形,EG⊥FH,设直线EG的方程为y=-x+m.
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$⇒7x2-8mx+4m2-12=0
∵E、G在椭圆C1上,∴△>0,∴m2<7,∴$-\sqrt{7}<m<\sqrt{7}$.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8m}{7}$.…(9分)
y1+y2=(-x1+m)(-x2+m)=-(x1+x2)$+2m=-\frac{8m}{7}+2m=\frac{6m}{7}$.
∴EG的中点坐标为($\frac{4m}{7},\frac{3m}{7}$),由EFGH为菱形可知,点($\frac{4m}{7},\frac{3m}{7}$)在直线FH:7x-7y+1=0上,
∴$7-\frac{4m}{7}-7×\frac{3m}{7}+1=0,m=-1$
∴$m=-1∈(-\sqrt{7},\sqrt{7})$.
∴直线EG的方程为y=-x-1.
即x+y+1=0 …(13分)
点评 本题主要考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的综合问题,属于中档题,在高考中经常涉及.
A. | $\frac{BC}{sinα}=\frac{AD}{sinβ}$ | B. | $\frac{AD}{sinα}=\frac{BC}{sinβ}$ | ||
C. | $\frac{{{S_{△BCD}}}}{sinα}=\frac{{{S_{△ACD}}}}{sinβ}$ | D. | $\frac{{{S_{△ACD}}}}{sinα}=\frac{{{S_{△BCD}}}}{sinβ}$ |