Question

6．已知函数f（x）满足条件：?x∈R，f（x）+f（-x）=0且f（x+t）-f（x）＜0（其中t为正数），则函数f（x）的解析式可以是（　　）

• A． y=$\frac{1}{x}$
• B． y=x³
• C． y=sinx
• D． y=-3x

Answer 1

分析 根据已知条件即可判断出f（x）满足定义域为R，为奇函数，减函数，从而根据反比例函数的定义域、y=x³的单调性、正弦函数的单调性、一次函数的单调性，来判断每个选项中的函数是否满足f（x）的上面几个条件即可找出正确选项．

解答 解：f（x）的定义域为R，f（x）+f（-x）=0；
∴f（x）为奇函数；
f（x+t）-f（x）＜0，即f（x+t）＜f（x），t＞0；
∴f（x）在R上为减函数；
A．y=$\frac{1}{x}$的定义域不为R，∴该选项错误；
B．y=x³是增函数，∴该选项错误；
C．y=sinx在R上没有单调性，∴该选项错误；
D．y=-3x显然是奇函数，且在R上为减函数，∴该选项正确．
故选D．

点评 考查奇函数的定义，减函数的定义，以及反比例函数的定义域，y=x³的单调性，正弦函数的单调性，及一次函数的单调性．