题目内容
已知函数.
(Ⅰ)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,试比较与1的大小;
(Ⅲ)求证:.
(Ⅰ)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,试比较与1的大小;
(Ⅲ)求证:.
(Ⅰ)或
(Ⅱ)①当时,,即;
②当时,,即;
③当时,,即.
(Ⅲ)见解析
(Ⅱ)①当时,,即;
②当时,,即;
③当时,,即.
(Ⅲ)见解析
(I)当时,g(x)=f(x)-k有一个零点,实质是y=f(x)与直线y=k有一个公共点,所以利用导数研究y=f(x)的单调性,极值,最值,作出图像可求出k的取值范围.
(II)当a=2时,令,然后利用导数研究其单调区间及最值,然后再分类讨论f(x)与1的大小关系.
(III)解本小题的关键是根据(2)的结论,当时,,即.
令,则有,从而得,问题得解.
解:(Ⅰ)当时,,定义域是,
,令,得或. …2分
当或时,,当时,,
函数在、上单调递增,在上单调递减. ……………4分
的极大值是,极小值是.
当时,;当时,,
当仅有一个零点时,的取值范围是或.……………5分
(Ⅱ)当时,,定义域为.
令,
, 在上是增函数. ………7分
①当时,,即;
②当时,,即;
③当时,,即.……………9分
(Ⅲ)(法一)根据(2)的结论,当时,,即.
令,则有,
. ……………12分
,. ……………14分
(法二)当时,.
,,即时命题成立.…………………10分
设当时,命题成立,即.
时,.
根据(Ⅱ)的结论,当时,,即.
令,则有,
则有,即时命题也成立.……………13分
因此,由数学归纳法可知不等式成立.……………………14分
(法三)如图,根据定积分的定义,
得.……11分
,
.……………………12分
,
又,,
.
.………………14分
(II)当a=2时,令,然后利用导数研究其单调区间及最值,然后再分类讨论f(x)与1的大小关系.
(III)解本小题的关键是根据(2)的结论,当时,,即.
令,则有,从而得,问题得解.
解:(Ⅰ)当时,,定义域是,
,令,得或. …2分
当或时,,当时,,
函数在、上单调递增,在上单调递减. ……………4分
的极大值是,极小值是.
当时,;当时,,
当仅有一个零点时,的取值范围是或.……………5分
(Ⅱ)当时,,定义域为.
令,
, 在上是增函数. ………7分
①当时,,即;
②当时,,即;
③当时,,即.……………9分
(Ⅲ)(法一)根据(2)的结论,当时,,即.
令,则有,
. ……………12分
,. ……………14分
(法二)当时,.
,,即时命题成立.…………………10分
设当时,命题成立,即.
时,.
根据(Ⅱ)的结论,当时,,即.
令,则有,
则有,即时命题也成立.……………13分
因此,由数学归纳法可知不等式成立.……………………14分
(法三)如图,根据定积分的定义,
得.……11分
,
.……………………12分
,
又,,
.
.………………14分
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