Question

11．在△ABC中，若$|{\overrightarrow{AB}}|=1$，$|{\overrightarrow{AC}}|=\sqrt{3}$，$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{BC}}|$，则$\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}$=（　　）

• A． -$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 运用向量的三角形法则和向量垂直的条件，以及向量的数量积的定义，结合直角三角形的勾股定理和锐角三角函数的定义，计算即可得到．

解答 解：由于$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{BC}}|$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，
即有|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$|，
两边平方可得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
即有$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
由勾股定理得|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{1+3}$=2，
则$\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}$=$\frac{-|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{BC}|•cos∠ABC}{|\overrightarrow{BC}|}$
=-|$\overrightarrow{AB}$|cos∠ABC=-1×$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$．
故选B．

点评 本题考查向量的三角形法则和向量垂直的条件，同时考查向量的数量积的定义，属于基础题和易错题．