题目内容
3．曲线x2+y2=6与曲线y=ax2+1交点处的切线互相垂直，则正数a的值为$\frac{1}{2}$．分析 设出交点，求得切点处的切线的斜率，由两条切线互相垂直：斜率之积等于-1，得到方程，结合切点在两曲线上，满足曲线方程，解方程组，即可解出a的值．
解答 解：圆x2+y2=6与抛物线y=ax2+1恒有两个交点，
由对称性，设交点为P（m，n），Q（-m，n），（m＞0），
过圆上一点P的切线的斜率为k1=-$\frac{m}{n}$，
由y=ax2+1的导数为y′=2ax，
可得在P处的切线的斜率为k2=2am，
由交点处的切线互相垂直可得，
2am•（-$\frac{m}{n}$）=-1，
又m2+n2=6，n=am2+1．
解得a=$\frac{1}{2}$，m=$\sqrt{2}$，n=2．
故答案为：$\frac{1}{2}$..
点评 本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，属于中档题．
练习册系列答案
假期作业暑假成长乐园新疆青少年出版社系列答案
相关题目
如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，AD⊥PD．若PC=4，PB=2，则圆O的半径为3，CD=$\frac{12}{5}$．
11．在△ABC中，若$|{\overrightarrow{AB}}|=1$，$|{\overrightarrow{AC}}|=\sqrt{3}$，$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{BC}}|$，则$\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}$=（ ）
| A． | -$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | B． | -$\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
8．在函数f（x）=alnx-（x-1）2的图象上，横坐标在区间（1，2）内变化的点处的切线斜率均大于1，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | [1，+∞） | B． | （1，+∞） | C． | [6，+∞） | D． | （6，+∞） |
在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（7，5），求△ABC的面积．