Question

6．已知函数$f（{x+\frac{1}{2}}）$为奇函数，g（x）=f（x）+1，即${a_n}=g（{\frac{n}{16}}）$，则数列{a_n}的前15项和为（　　）

• A． 13
• B． 14
• C． 15
• D． 16

Answer 1

分析 首先根据函数的对称性求出函数的关系式g（x）+g（1-x）=2．进一步利用函数的关系式求出结果．

解答 解：∵$f（{x+\frac{1}{2}}）$为奇函数，
则函数y=f（x）的图象关于点$（{\frac{1}{2}，0}）$对称，
则函数y=g（x）的图象关于点$（{\frac{1}{2}，1}）$对称，
故函数g（x）满足g（x）+g（1-x）=2．
设$S=g（{\frac{1}{16}}）+g（{\frac{2}{16}}）+…+g（{\frac{15}{16}}）$，
倒序后得$S=g（{\frac{15}{16}}）+g（{\frac{14}{16}}）+…+g（{\frac{1}{16}}）$，
两式相加后得$2S=[{g（{\frac{1}{16}}）+g（{\frac{15}{16}}）}]+[{g（{\frac{2}{16}}）+g（{\frac{14}{16}}）}]+…+[{g（{\frac{15}{16}}）+g（{\frac{1}{16}}）}]=15×2$，
∴S=15．
故选：C．

点评 本题考查的知识要点：奇函数的性质的应用，利用奇函数的关系式求出函数的值．