题目内容
8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.若M,N分别为棱PD,PC上的点,O为AC的中点,且AC=2OM=2ON.(Ⅰ)求证:平面ABM⊥平面PCD;
(Ⅱ)求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值;
(Ⅲ)求点N到平面ACM的距离.
分析 (Ⅰ)依题设知,AC=2OM,则AM⊥MC,CD⊥平面PAD,则CD⊥AM,有AM⊥平面PCD,由此能证明平面ABM⊥平面PCD.
(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出平面ACM的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求出直线CD与平面ACM所成的角的正弦值;
(Ⅲ)确定$\overrightarrow{AN}$=($\frac{8}{9}$,$\frac{16}{9}$,$\frac{20}{9}$),利用向量的距离公式.由此能求出点N到平面ACM的距离.
解答 (Ⅰ)证明:依题设知,AC=2OM,则AM⊥MC.
又因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥CD,又CD⊥AD,
所以CD⊥平面PAD,则CD⊥AM,
所以AM⊥平面PCD,
所以平面ABM⊥平面PCD. …(4分)
(Ⅱ)解:如图所示,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2);
设平面ACM的一个法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
由$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{AM}$可得:$\left\{\begin{array}{l}{2x+4y=0}\\{2y+2z=0}\end{array}\right.$,
令z=1,则$\overrightarrow{n}$=(2,-1,1).
设所求角为α,则sinα=|$\frac{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CD}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$. …(9分)
(Ⅲ)解:由条件可得,AN⊥NC.
设$\overrightarrow{PN}$=λ$\overrightarrow{PC}$=(2λ,4λ,-4λ),则$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PN}$=(2λ,4λ,4-4λ),
所以$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{PC}$=(2λ,4λ,4-4λ)•(2,4,-4)=36λ-16=0
解得λ=$\frac{4}{9}$,所以$\overrightarrow{AN}$=($\frac{8}{9}$,$\frac{16}{9}$,$\frac{20}{9}$),
设点N到平面ACM距离为h,则h=$\frac{|\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{10\sqrt{6}}{27}$. …(13分)
点评 本题考查直线与平面垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,考查点到平面的距离的求法,正确利用向量的方法是关键.