题目内容
19．数列{an}满足：a1=1，且对任意的m，n∈N*，都有：am+n=am+an+mn，则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2014}}}}$=$\frac{4028}{2015}$．分析 通过令m=1可知an+1-an=n+1，利用累加法计算可知an=$\frac{n（n+1）}{2}$，裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），进而并项相加即得结论．
解答 解：∵am+n=am+an+mn，a1=1，
∴an+1=an+n+1，
整理得：an+1-an=n+1，
∴an-an-1=n，an-1-an-2=n-1，…，a2-a1=2，
累加得：an-a1=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，
∴an=a1+$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$=1+$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2014}}}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）
=2（1-$\frac{1}{2015}$）
=$\frac{4028}{2015}$，
故答案为：$\frac{4028}{2015}$．
点评 本题考查数列的求和，对表达式的灵活变形及裂项是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
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9．关于直线a，b，c以及平面α，β，给出下列命题：
①若a∥α，b∥α，则a∥b
②若a∥α，b⊥α，则a⊥b
③若a?α，b?α，且c⊥a，c⊥b，则c⊥α
④若a⊥α，a∥β，则α⊥β．
其中错误的命题是（ ）
①若a∥α，b∥α，则a∥b
②若a∥α，b⊥α，则a⊥b
③若a?α，b?α，且c⊥a，c⊥b，则c⊥α
④若a⊥α，a∥β，则α⊥β．
其中错误的命题是（ ）
| A． | ①② | B． | ②④ | C． | ①③ | D． | ②③ |
10．若$A_{2n}^3=9A_n^3$，则n等于（ ）
| A． | 12 | B． | 13 | C． | 14 | D． | 15 |
14．函数f（x）=xsinx+cosx在区间（0，$\frac{3π}{2}$）上的极大值为（ ）
| A． | π | B． | -1 | C． | 1 | D． | $\frac{π}{2}$ |
4．设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2+2n（n∈N*），则$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（ ）
| A． | $\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}$ | B． | $\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ | C． | $\frac{1}{6}-\frac{1}{4n+3}$ | D． | $\frac{1}{6}-\frac{1}{4n+6}$ |