Question

11．已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=m|x|-2，（m∈R）．
（1）解关于x的不等式f（x）＞3；
（2若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）＞3，得|x-2|＞3，由此求得x的范围．
（2）由题意可得|x-2|≥m|x|-2 恒成立．当x=0时，不等式显然成立；当x≠0时，问题等价于m≤$\frac{|x-2|+2}{|x|}$对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得m的范围．

解答 解：（1）由f（x）＞3，得|x-2|＞3，可得x-2＞3，或 x-2＜-3．
求得x＜-1，或x＞5，
故原不等式的解集为{x|x＜-1，或x＞5}．
（2）由f（x）≥g（x），得|x-2|≥m|x|-2 恒成立．
当x=0时，不等式|x-2|≥m|x|-2 恒成立；
当x≠0时，问题等价于m≤$\frac{|x-2|+2}{|x|}$对任意非零实数恒成立．
∵$\frac{|x-2|+2}{|x|}$≥$\frac{|x-2+2|}{|x|}$=1，∴m≤1，即m的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．