题目内容
4.设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=n2+2n(n∈N*),则$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=( )A. | $\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}$ | B. | $\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ | C. | $\frac{1}{6}-\frac{1}{4n+3}$ | D. | $\frac{1}{6}-\frac{1}{4n+6}$ |
分析 Sn=n2+2n(n∈N*),当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1.可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})$,利用“裂项求和”即可得出.
解答 解:∵Sn=n2+2n(n∈N*),∴当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1.
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})$,
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}[(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$+$(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$+…+$(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})]$
=$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3})$
=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{4n+6}$.
故选:D.
点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | 24个 | B. | 30个 | C. | 36个 | D. | 48个 |
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(1)补全2×2列联表;
(2)判断是否在范错误的概率不超过0.05的前提下认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关.
公式与临界值表:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
室外工作 | 室内工作 | 合计 | |
有呼吸系统疾病 | 150 | ||
无呼吸系统疾病 | 100 | ||
合计 | 200 |
(2)判断是否在范错误的概率不超过0.05的前提下认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关.
公式与临界值表:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |