题目内容

9.已知曲线C1的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=4sinφ}\end{array}\right.$(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=a(a>0),直线l的极坐标方程是$ρsin(θ+\frac{π}{3})$=1,曲线C2与直线l有二交点A,B.
(1)求C2与l的普通方程,并求a的取值范围;
(2)设P为C1上任意一点,当a=2时,求△PAB面积的最大值.

分析 (1)利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可把直角坐标方程化为极坐标方程.
(2)当a=2时,圆的方程为x2+y2=4.弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$.P为C1上任意一点,曲线C1的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=4sinφ}\end{array}\right.$(φ为参数),则点P到直线l的距离h═$\frac{|5sin(φ+α)-2|}{2}$$≤\frac{7}{2}$,即可得出△PAB面积的最大值S=$\frac{1}{2}{h}_{max}$|AB|.

解答 解:(1)曲线C2的极坐标方程是ρ=a(a>0),可得直角坐标方程:x2+y2=a2
直线l的极坐标方程是$ρsin(θ+\frac{π}{3})$=1,展开化为:$\frac{1}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=1,可得直角坐标方程:$y+\sqrt{3}x$-2=0.
∵曲线C2与直线l有二交点A,B.
∴圆心(0,0)到直线的距离d=$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+(\sqrt{3})^{2}}}$=1<a,
∴a的取值范围是a>1.
(2)当a=2时,圆的方程为x2+y2=4.
弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$2\sqrt{4-1}$=2$\sqrt{3}$.
∴P为C1上任意一点,曲线C1的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=4sinφ}\end{array}\right.$(φ为参数),
则点P到直线l的距离h=$\frac{|\sqrt{3}×\sqrt{3}cosφ+4sinφ-2|}{2}$=$\frac{|5sin(φ+α)-2|}{2}$$≤\frac{7}{2}$,
∴△PAB面积的最大值S=$\frac{1}{2}{h}_{max}$|AB|=$\frac{1}{2}×\frac{7}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$.

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题、弦长公式、点到直线的距离公式、椭圆的参数方程应用、三角函数的值域,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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