Question

7．已知x+y=-1且x＜0，y＜0，求xy+$\frac{1}{xy}$的最小值$\frac{17}{4}$．

Answer 1

分析 由基本不等式可得0＜xy≤$\frac{1}{4}$，换元由“对号函数”的单调性可得．

解答 解：∵x+y=-1且x＜0，y＜0，
∴（-x）+（-y）=1，且-x＞0，-y＞0，
∴xy=（-x）（-y）≤$（\frac{-x-y}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
当且仅当-x）=-y即x=y=-$\frac{1}{2}$时取等号，
∴0＜xy≤$\frac{1}{4}$，令xy=t，
则xy+$\frac{1}{xy}$=t+$\frac{1}{t}$在0＜t≤$\frac{1}{4}$上单调递减，
∴当t=xy=$\frac{1}{4}$时，xy+$\frac{1}{xy}$取最小值$\frac{17}{4}$
故答案为：$\frac{17}{4}$

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及“对号函数”的单调性，属中档题．