题目内容
【题目】设函数f（x）=（1-x2）ex．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．
【答案】（1）f（x）在（-∞，-1-
），（-1+
，+∞）上单调递减，在（-1-
，-1+
）上单调递增；（2）[1，+∞）.
【解析】试题分析：（1）求导，令
，求出极值点，利用导函数的符号，即可求出
的单调性；（2）先化简
，由
，对
分类讨论：①当
时，构造新函数
，再对
求导，得
的单调性，即可得
的取值范围；②当
时，构造新函数
，得
的单调性，再由试根法即可得出结论；③当
时，利用试根法即可得出结论；然后得出
的取值范围.
试题解析：（1）因为f（x）=（1-x2）ex，x∈R，
所以f′（x）=（1-2x-x2）ex，
令f′（x）=0可知x=-1±
，
当x＜-1-
或x＞-1+
时f′（x）＜0，当-1-
＜x＜-1+
时f′（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，-1-
），（-1+
，+∞）上单调递减，在（-1-
，-1+
）上单调递增；
（2）由题可知f（x）=（1-x）（1+x）ex．下面对a的范围进行讨论：
①当a≥1时，设函数h（x）=（1-x）ex，则h′（x）=-xex＜0（x＞0），
因此h（x）在[0，+∞）上单调递减，
又因为h（0）=1，所以h（x）≤1，
所以f（x）=（1-x）h（x）≤x+1≤ax+1；
②当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，则g′（x）=ex-1＞0（x＞0），
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，
又g（0）=1-0-1=0，
所以ex≥x+1．
因为当0＜x＜1时f（x）＞（1-x）（1+x）2，
所以（1-x）（1+x）2-ax-1=x（1-a-x-x2），
取x0=
∈（0，1），则（1-x0）（1+x0）2-ax0-1=0，
所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；
③当a≤0时，取x0=
∈（0，1），则f（x0）＞（1-x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾；
综上所述，a的取值范围是[1，+∞）．
