题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)若,试讨论关于
的方程
的解的个数,并说明理由.
【答案】(1)当时,
无极值;当
时,
有极小值
,无极大值。(2)唯一解
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,通过讨论m的范围,求出函数的单调区间,从而写出函数的极值;(2)令,
,问题等价于求
函数的零点个数,通过讨论m的范围,判断即可.
试题解析:
(1)依题意得, ,
当时,
,故函数
在
上单调递增,
无极值;
当时,令
,
或
(舍)
当时,
,函数
在
上单调递减;
当时,
,函数
在
上单调递增.
故函数有极小值
.
综上所述:当时,
无极值;
当时,
有极小值
,无极大值.
(2)令,
,问题等价于求
函数的零点个数.
易得
当时,
,函数
为减函数,因为
,
,所以
有唯一零点;
当时,则当
或
时,
,而当
时,
,
所以,函数在
和
上单调递减,在
单调递增,
因为,
,所以函数
有唯一零点.
综上,若,函数
有唯一零点,即方程方程
有唯一解.
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