题目内容
【题目】己知椭圆
的离心率为
，点
在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，
轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
①求证：
是直角三角形；
②求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
（1）解方程组
即可；
（2）①设直线PQ的斜率为k.则其方程为
，联立直线与椭圆方程得到
坐标，再由QG与椭圆方程联立得到G点坐标，证明斜率乘积等于
即可；②利用两点间的距离公式算得
的长度，将三角形的面积用k表示，再结合双勾函数的单调性即可得到答案.
（1）由题意，
，
，
，
解得
，
所以椭圆的方程为：.
（2）①：设直线PQ的斜率为k.则其方程为.
由
，得
.
记
，则
，
，
.
于是直线QG的斜率为
，方程为
.
由
得
.①
设
，则
和
是方程①的解，
故
，由此得
.
从而直线PG的斜率为
.
所以
，即
是直角三角形.
②：由①得
，
，
所以的面积
，
又，所以
.
设
，则由
得
，当且仅当
时取等号.
因为
，而
在
单调递增，
所以当
，即时，S取得最大值，最大值为.
因此，面积的最大值为.
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