Question

【题目】已知函数f（x）=-x2+2mx+7．

（Ⅰ）已知函数y=（x）在区间[1，3]上的最小值为4，求m的值；

（Ⅱ）若不等式f（x）≤x2-6x+11在区间[1，2]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）m=1（Ⅱ）m≤2-3

【解析】

（Ⅰ）利用函数的性质可求得最值；

（Ⅱ）利用函数的最值可解决此问题．

（Ⅰ）函数对称轴x=m，且抛物线开口向下.

当m≤2时，ymin=-32+6m+7=4∴m=1；

当m≥2时，ymin=-12+2m+7=4∴m=-1（舍）；

∴m=1；

（Ⅱ）∵不等式f（x）≤x2-6x+11在区间[1，2]上恒成立

∴-x2+2mx+7≤x2-6x+11在区间[1，2]上恒成立

即m≤x-3+

∴m≤（x+-3）min

令g(x)=x+-3,易知

∴m≤2-3．