Question

【题目】已知集合.对于的一个子集,若存在不大于的正整数,使得对于中的任意一对元素,都有,则称具有性质.

（Ⅰ）当时,试判断集合和是否具有性质?并说明理由.

（Ⅱ）若时，

①若集合具有性质,那么集合是否一定具有性质?并说明理由;

②若集合具有性质,求集合中元素个数的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）当时,,结合新定义的性质P可知集合不具有性质.集合具有性质.

（Ⅱ）当时,,

①若集合具有性质,那么对于中的任意两个元素,存在成立,则对于中的任意两个元素成立,所以集合一定具有性质.

②已知,设是中最小的元素,则,并且.可得集合中元素最多的理想状态是集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多出一整组（个）,即有组元素在集合中,组元素不在集合中,此时满足.很明显不存在满足上式的,理想状态不存在.接下来,令集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多个,讨论可得集合中元素个数的最大值是.

试题解析：

（Ⅰ）当时,,

,对于中的任意两个元素,不存在,

所以集合不具有性质.

,对于中的任意两个元素,存在,

所以集合具有性质.

（Ⅱ）当时,,

①若集合具有性质,那么对于中的任意两个元素,存在成立,

集合{},则对于中的任意两个元素,

一定存在成立,

所以集合一定具有性质.

②已知,设是中最小的元素,

则有,

并且,

并且,

以此类推

,并且

.

因为要求集合中元素个数的最大值,不妨从集合中排除不满足条件的元素.

令,则有

,并且

.

故集合中的元素被分为两部分,从开始以个数为一组进行分组,第一组的元素在集合中,第二组的元素不在集合中,第三组的元素在集合中,第四组的元素不在集合中,以此类推,一直到集合中没有元素.

所以集合中元素最多的理想状态是集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多出一整组（个）,即有组元素在集合中,组元素不在集合中,此时满足.

因为是奇数,是偶数,所以为偶数,则有.

然而是质数,不存在满足上式的,理想状态不存在.

接下来,令集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多个,此时满足,即,此时显然越大,集合中元素越多.

取,得,此时集合中元素最多,为.

所以,集合中元素个数的最大值是.