题目内容

20.设x,y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+y≥3\\ x-y≥-1\\ 2x-y≤3\end{array}\right.$,若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为8,则a+b的最小值为$\sqrt{3}$.

分析 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识先求出a,b的关系,然后利用基本不等式求a+b的最小值.

解答 解:由z=abx+y(a>0,b>0)得y=-abx+z,
作出可行域如图:
∵a>0,b>0,
∴直线y=-abx+z的斜率为负,且截距最大时,z也最大.
平移直线y=-abx+z,由图象可知当y=-abx+z经过点A时,
直线的截距最大,此时z也最大.
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x-y=3}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$,即A(4,5).
此时z=4ab+5=8,
即ab=$\frac{3}{4}$,
则a+b$≥2\sqrt{ab}$=2$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\sqrt{3}$,
当且仅当a=b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时取=号,
故最小值为$\sqrt{3}$,
故答案为:$\sqrt{3}$.

点评 本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

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